Читать книгу Как не ошибаться онлайн | страница 41

Что касается ряда Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + …, он принадлежит к числу рядов, находящихся за пределами теории Коши; другими словами, это один из расходящихся рядов, о которых идет речь в книге Харди. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель, один из первых сторонников подхода Коши, написал в 1828 году следующее: «Расходящиеся ряды – это изобретение дьявола, и постыдно основывать на них какое бы то ни было доказательство»[74]. В наше время мы придерживаемся именно точки зрения Харди. Она более терпима: существуют расходящиеся ряды, которым мы должны приписать какое-то значение, а также ряды, в случае которых нам не следует этого делать, – все зависит от контекста, в котором возникает тот или иной ряд. Современные математики сказали бы, что если нам необходимо присвоить какое-то значение ряду Гранди, то это должно быть 1/2, поскольку, как оказалось, все интересные теории, описывающие бесконечные суммы, либо присваивают этому ряду значение 1/2, либо (подобно теории Коши) вообще отказываются приписывать какое бы то ни было значение сумме этого ряда[75].

Чтобы записать точные определения Коши, потребуется приложить немного больше усилий. В частности, это касалось и самого Коши, который не составил достаточно четкого описания своих идей в том виде, в котором они известны в настоящее время[76]. (В математике редко бывает так, что автор идеи дает самое четкое ее описание.)[77] Коши был убежденным консерватором и монархистом, но в области математики он оказался знающим себе цену мятежником и настоящим бедствием для академических властей. Как только Коши понял, как можно обойтись без опасных бесконечно малых величин, он по собственной инициативе переписал свой учебный план в Политехнической школе (École Polytechnique) таким образом, чтобы тот отображал его новые идеи. Все окружение Коши пришло от этого в ярость: обманутые студенты, записавшиеся на курс изучения основ математического анализа, а не на семинар по новейшим достижениям в области чистой математики; коллеги, считавшие, что студентам, изучающим в Политехнической школе инженерное дело, не нужен предложенный Коши уровень математической строгости; администраторы, распоряжения которых по поводу необходимости придерживаться официальной программы курса обучения Коши полностью игнорировал. Администрация Политехнической школы ввела новый учебный план по математическому анализу и посадила на занятиях Коши стенографистов, чтобы удостовериться, что он будет придерживаться этого плана. Но Коши не стал этого делать. Его мало волновали потребности инженеров. Его интересовала истина[78].