Читать книгу Как не ошибаться онлайн | страница 39
Но мы так и не приблизились к разрешению нашего спора. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? Это 1? Или это некое число, на бесконечно малую величину меньшее 1, – число, принадлежащее к совершенно необычному классу чисел, который даже не был открыт сотню лет назад?
Правильный ответ состоит в том, чтобы вообще не задавать такого вопроса. Что представляет собой число 0,999… на самом деле? По всей вероятности, некую сумму такого рода:
0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + …
Но что она значит? Настоящая проблема заключается в злополучном многоточии. Не может быть никаких споров по поводу того, что значит сумма двух, трех или сотни чисел. Перед нами всего лишь математическое обозначение физического процесса, который мы прекрасно понимаем: возьмите сотню куч чего угодно, смешайте их вместе и определите, сколько и чего у вас получилось. Но бесконечно большое количество? – это совсем другая история. В реальном мире вы не можете получить бесконечно большое количество множеств. Чему равно числовое значение бесконечной суммы? Его не существует – пока мы не зададим это значение. В чем и состояла новаторская идея Огюстена Луи Коши, который в 1820-х годах ввел в математический анализ понятие предела[72].
Лучше всего это объясняет Годфри Гарольд Харди в книге Divergent Series («Расходящиеся ряды»), опубликованной в 1949 году:
Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не придет в голову, что какое-либо соединение математических символов может иметь «смысл» до того, как ему придан смысл с помощью определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были в их обычае; для них не было естественно говорить: «под X мы понимаем Y». С некоторыми оговорками… верно будет сказать, что математики до Коши спрашивали не «как определить 1 − 1 + 1 − 1 + …?», а «что есть 1 − 1 + 1 − 1 + …?»; и этот склад мышления приводил их к ненужным затруднениям и спорам, зачастую носившим, по существу, чисто словесный характер[73].